triângulo de pascal

Suponha que se deseja calcular o produto do tipo (a + b).(a + b)  ou ( a + b )².

É claro que um aluno do oitavo ano saberá identificar, imediatamente, que se trata de um produto notável, mais conhecido como “o quadrado da soma de dois termos” e que a regra prática para o seu desenvolvimento é:

“o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”

isto é:

a² + 2.a.b + b²

Além disso, esse mesmo aluno consegue, facilmente, demonstrar através da propriedade distributiva a veracidade de tal regra:

( a + b ).( a +b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2.a.b + b²

Mas, talvez, não imagine que esse produto notável tão famoso pudesse ser obtido através do triângulo aritmético conhecido como o “Triângulo de Pascal”:

Observando os números da terceira linha do triângulo ( 1 , 2 , 1 ) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a²  , a.b  e  b² , ou seja: 1.a² + 2.a.b + 1.b².

O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável ( a + b )² , outros produtos do tipo ( a + b )³ , ( a + b )⁴ e, assim por diante …

( a + b )³ = 1.a³ + 3.a².b + 3.a.b² + 1.b³  ( quarta linha )

( a + b )⁴ = 1.a⁴ + 4.a³.b + 6.a².b² + 4.a.b³ + 1.b⁴  ( quinta linha )

( a + b )⁵ = 1.a⁵ + 5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + 1.b⁵  ( sexta linha )

A partir desse momento da leitura, cabe perguntar: como os termos foram obtidos nos desenvolvimentos acima,?

Simples:

·   em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;

·   a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;

·   a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;

·   o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;

·   o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;

·   a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

Vamos observar, por exemplo, o desenvolvimento de ( a + b )⁵

1.a⁵ + 5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + 1.b⁵

Na verdade, o desenvolvimento desse binômio é:

1.a⁵ .b⁰ + 5.a⁴.b¹ + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a¹.b⁴ + 1.a⁰.b⁵

·   em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a⁰ = b⁰= 1, a¹= a , b¹= b)

·   expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0  (ordem decrescente)

·   expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5  (ordem crescente)

·   soma do expoentes de a e de b em cada monômio:5  (expoente do binômio)

·   a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

Agora, responda às perguntas:

a) Quais são as regras de construção do Triângulo de Pascal?

b) Quais são as linhas de número 7, 8 e 9 do Triângulo de Pascal?

c) Qual é o desenvolvimento do binômio ( a + b )⁶?

sudoku

http://rachacuca.com.br/logica/sudoku/facil/1/
sudoko é um jogo muito divertido e que exige muita paciência.

jogos

http://www.ojogos.com.br/jogo/add-like-mad---.html
 enconte numéros que com sua soma seja encontrado o valor do numéro que aparecer na tela.

matemática é poesia

MATEMÁTICA É POESIA

"Tudo são números"

"Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las."

"A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus."

"A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se. "

"A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus."

exercicios de produtos notáveis

PRODUTOS NOTÁVEIS
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOSObserve: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]






QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOSObserve: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =
l) (9x² - 1)² =
m) (x³ - 2)² =
n) (2m⁵ - 3)² =
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =






PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²


EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : x² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =






CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³


EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³

produtos notáveis

Produtos Notáveis

    

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
    Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
    Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
        ( a + b ).( a – b ) = a² - b²
 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
        ( a + b )² = a² + 2ab +b²
 3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
        ( a – b )² = a² - 2ab + b²
   Existem muitas outras outras fórmulas:

   ( a + b ) ³ =  a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³

   (a – b )³ =  a³ - 3 a²b + 3ab² - b³

   

   

Não freqüentemente usadas:

  
 

  

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Truques :):)

Dicas de Matemática !

1. A primeira dica que eu gostaria de ressaltar é sobre a leitura da questão de matemática. Muitos alunos começam a ler a questão e, sem terminar de ler todo o enunciado, acham que já sabem o que o problema está pedindo e saem fazendo as contas. Mas, na verdade, não sabem realmente qual a pergunta do problema. Isso é muito ruim, pois em muitos problemas a pergunta está justamente no finalzinho do enunciado. Eu vou dar um exemplo: imaginem a seguinte questão - resolvendo a equação 3x = 12... Aí o aluno pára e fala: 3x = 12 eu sei; então x é 12 dividido por 3; então x é 4. Aí ele bate o olho na alternativa A : está escrito 4 na solução. Então, ele fala, "ah, acertei", então ele vai lá e marca. Só que olha como era o enunciado: resolvendo a equação 3x=12, então o valor de X ao quadrado é... Com esse exemplo, você vê que uma questão muito fácil pode ser jogada fora por causa de uma má leitura do enunciado. O que eu aconselho para você é o seguinte: faça uma primeira leitura do enunciado para você se familiarizar com o problema; é preciso que você compreenda o problema. Numa segunda leitura, analise os dados e a pergunta do problema; você precisa encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. Encontrada essa conexão, aí sim você deve partir para a resolução do problema.

2. Em toda prova, existem questões fáceis, médias e difíceis. Ao começar resolver a prova, encare as questões como um jogo de pega-varetas. Resolva primeiro as questões que você achar que são fáceis, só para depois você fazer as médias e só depois de tudo isso encarar as difíceis. Se ao ler uma questão e perceber que você sabe sobre o assunto pedido naquele problema, mas naquele momento você não se lembra de um pequeno detalhe ou de uma formulazinha para poder solucionar o problema, pule para a próxima. Só volte para essa questão depois de ter lido as restantes e resolvido aquelas que apresentam soluções bem simples. Nunca fique muito tempo em uma única questão. Quando você perde muito tempo em uma questão, além de ficar nervoso, você joga fora a possibilidade de estar resolvendo questões mais fáceis, ou seja, está jogando fora a possibilidade de somar mais alguns pontinhos.

3. Existem alguns assuntos de matemática que são muito cobrados em praticamente todos os vestibulares, os quais muito provavelmente irão aparecer em sua prova. Eu vou listar esses assuntos e, se você tiver alguma dúvida sobre alguns deles, consulte seu professor ou pergunte pra algum amigo, pro vizinho, pro pai, pra mãe, pra qualquer pessoa, mas não vá fazer a prova sem estar familiarizado com o assunto. Bom, os assuntos são:

porcentagem;

logaritmos - não esqueça da definição, da condição de existência e das propriedades;

semelhança de triângulos;

teorema de Pitágoras;

progressão aritmética - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos numa PA, o termo do meio é igual à média aritmética dos extremos;

progressão geométrica - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos da PG finita e da infinita. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos em PG, o termo do meio é a média geométrica dos extremos;

área de figuras planas;

olinômios;

análise combinatória - tenha muito clara, em sua cabeça, a diferença entre arranjos e combinações;

equações de reta e de circunferência;

números complexos.  

Além desses assuntos, já faz algum tempo que a Fuvest não pede nada sobre matrizes e determinantes nas provas da primeira fase. Meu palpite diz que vale a pena dar uma olhadinha nesses assuntos, ou seja, operações com matrizes, cálculos de determinantes e propriedades.

4. Analisando as últimas provas da Fuvest, a gente percebe que a tendência do vestibular é cobrar o raciocínio lógico do aluno e não a simples "decoreba" de fórmulas, ou grandes cálculos algébricos para conferir se a gente sabe ou não fazer contas. Os examinadores estão preocupados em analisar se você sabe ou não interpretar o texto, analisar os dados, fazer interligações entre assuntos e disciplinas e, a partir dessa interligação e dessa análise de texto, encontrar alguma seqüência lógica para solucionar o problema. Se ao resolver um exercício você se deparar com contas imensas, números extremamente grandes, desconfie: o caminho que você está seguindo não é o correto ou deve existir um caminho mais fácil e menos trabalhoso para solucionar o exercício.

Ainda dentro dessa dica, queria falar sobre questões que apresentam enunciados muito longos, daquelas que você já olha e fica assustado - "isso aqui não sei". Geralmente, nesse tipo de questão, quando o aluno chega ao fim da leitura do enunciado, já se esqueceu o que dizia o começo do problema: aí fica nervoso e acaba considerando a questão difícil. Tome muito cuidado: quando os enunciados são cumpridos, nem sempre a questão é muito difícil. Nesse tipo de questão, o examinador costuma apresentar uma receita, tipo uma receita de bolo. O que você deve fazer então ? Com calma, leia novamente o texto, interprete o problema em si e siga os passos da receita apresentada. Com certeza, você chegará à solução.

5. Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma , com . Na equação do segundo grau, o "a", o "b" e o "c" são os coeficientes, e o "x" é a incógnita. Para resolvermos uma equação do segundo grau, podemos utilizar a forma resolutiva de Bhaskara, que é dada por:

em que . Eu sei que você já está bem familiarizado com esta fórmula, mas o que eu gostaria mesmo de frisar é o delta. Quando aparecem questões sobre equação de segundo grau e o examinador faz referências ao delta, ele não fala delta e sim discriminante, ou seja, no meio de uma questão aparece uma frase do tipo "o discriminante de uma equação do segundo grau".... Se o aluno não sabe o que é discriminante, se assusta e pára a questão. Então, não se esqueça: o discriminante é o delta da equação do segundo grau.

Dentro ainda do assunto de equação de segundo grau, queria relembrar soma e produto. A soma das raízes da equação do segundo grau, ou seja:

.

e o produto, que é

.

Quando você tem que usar soma e produto? Existem alguns casos em que vale a pena a gente dar uma olhadinha. Quando o exercício nos dá uma relação entre as raízes, ou está pedindo uma relação entre as raízes, do tipo , quanto que vale? Geralmente, quando é pedida uma relação entre as raízes e o aluno não sabe soma e produto, as contas se tornam grandes, pois o delta desse tipo de equação não costuma dar um quadrado perfeito e você acaba se enroscando no meio das contas.

06. Dicas para quem vai prestar o vestibular da Fuvest este ano. Se você quer dar aquela revisada mas o tempo é curto, selecione alguns assuntos quase que inevitáveis, ou seja, aqueles que possuem uma probabilidade maior de ocorrência na primeira fase da Fuvest.

A Álgebra, como sabemos, é a campeã das aparições. Priorize funções de primeiro e segundo graus, assim como inequações e análise de gráficos - ou seja, procure identificar os pontos notáveis para a obtenção de gráficos; por exemplo, ponto de máximo e mínimo, coeficiente linear...

Quanto a matrizes, enfatize o produto entre matrizes, além do cálculo de determinante de terceira ordem; fixe-se bem em conceitos e propriedades. Agora, se o assunto é Logaritmos, preste atenção nas definições e, principalmente, nas propriedades.

Em Trigonometria, procure amadurecer bem a trigonometria no triângulo retângulo e enxergar os eixos seno, cosseno e tangente - e , principalmente, ter a percepção de que os ângulos não estão nos eixos coordenados, embora normalmente sejam a incógnita de uma equação trigonométrica. Falando em equação trigonométrica, é bom não esquecer a famosa relação fundamental: o seno ao quadrado de um ângulo, mais o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo, é sempre igual a um. Na maioria dos casos, em Trigonometria essa relação é a salvadora da pátria, e dificilmente te deixa na mão.

07. Questões criativas e bem formuladas de Geometria Plana têm sido cobradas com muita freqüência pela Fuvest. Dentro desse assunto, dê prioridade à semelhança entre triângulos, além do cálculo de áreas de figuras planas de uma forma geral: quadriláteros, triângulos, círculos, etc. Atente, principalmente, para polígonos com "n" lados e procure enxergar figuras mais simples em sua composição, como, por exemplo, o cálculo da área de um hexágono, que é visto como seis vezes a área de um triângulo equilátero de lado igual ao lado do hexágono.

Ainda em geometria plana: evite, nos exercícios de semelhança, desenhar as figuras semelhantes fora do desenho normalmente dado - é pura perda de tempo: nem sempre (ou melhor, nunca) há espaço suficiente para isso na folha de rascunho. Procure - através dos ângulos nas figuras, que, em geral, são triângulos - identificar a semelhança entre elas e estabelecer uma correspondência entre os lados proporcionais e seus respectivos ângulos. Isso suaviza o exercício e, o que é melhor, você ganha tempo para se dedicar a outros exercícios que exijam conhecimentos mais específicos da matéria.

08. Um toque especial, para quem concorre a uma vaga nesse vestibular, é que apesar da Álgebra continuar reinando absoluta, a Geometria Plana e a Aritmética têm chegado lá com muita força. Uma boa pedida para investir tempo de estudo nessa altura do campeonato é em questões de Aritmética, em especial envolvendo porcentagens. Nos últimos anos, cobra-se mais o raciocínio lógico do que propriamente o acúmulo de fórmulas na cabeça; eu costumo até dizer que o cara que sabe bem regra de três e, conseqüentemente, a relação entre o todo e a parte, já tem meio caminho andado para se dar bem nas provas de Química, Física, Matemática e até mesmo de Biologia. Além disso, é provável que esse ano sejam misturados postulados e teoremas de Geometria de Posição com Geometria Espacial. Nesse tópico, estude Pirâmides, Cones e Cilindros e seus respectivos troncos, e preste atenção nas partes da esfera, além dos conjuntos de sólidos que podem ser inseridos um no outro - por exemplo, um cubo dentro de uma esfera. Quanto à Geometria Analítica, é fatal: retas e circunferências têm roubado a cena. Posições relativas entre reta e reta, reta e circunferência e o conceito de coeficiente angular têm de estar bem amadurecidos. Preste atenção: o coeficiente angular representa a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo "x". Procure interligar os assuntos, não os veja em compartimentos estanques, pois tudo acaba se encontrando. Além disso, sempre que possível em geometria analítica, faça um desenho para ajudar: não é a saída para todos os exercícios, mas na maioria dos casos ajuda bastante.

Sites que podem ajudar !

 1 - http://matematicapratica.com/index.php/trechos-do-dvd-de-matematica-basica.html?c=9&kw=dicas%20de%20matem%C3%A1tica&gclid=CMDegrWBlakCFQOt7QodFRUzeg

2 -http://www.coladaweb.com/matematica/dicas-de-matematica

Como fazer um bom cálculo

17 dicas para cálculo rápido, comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em 23 grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.

Dica 01-1: Multiplicar por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita.

Exemplo: 12×10=120

Exemplo: 12,345×10=123,45

Dica 01-2: Multiplicar por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×100=1200

Exemplo: 12,345×100=1234,5

Dica 01-3: Multiplicar por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×1000=12000

Exemplo: 12,345×1000=12345

Dica 01-4: Multiplicar por 10ⁿ

Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×10⁷=120000000

Exemplo: 12,345×10⁷=123450000

Dica 02-1: Dividir por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda.

Exemplo: 12÷10=1,2

Exemplo: 12,345÷10=1,2345

Dica 02-2: Dividir por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷100=0,12

Exemplo: 12,345÷100=0,12345

Dica 02-3: Dividir por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷1000=0,0120

Exemplo: 12,345÷1000=0,012345

Dica 02-4: Dividir por 10ⁿ

Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷10⁷=0,0000012

Exemplo: 12,345÷10⁷=0,0000012345

Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número.

Exemplo: 4×16=2×2×16=2×32=64

Exemplo: 12,3×4=2×2×12,3=2×24,6=49,2

Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5

Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 0,4x16=2x2x16÷10=2x32÷10=64÷10=6,4

Exemplo: 0,4x12,3=2x2x12,3÷10=2x24,6÷10 =49,2÷10=4,92

Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 40×16=2×2×16×10=2×32×10=64×10=640

Exemplo: 40x12,3=2x2x12,3×10=2x24,6×10 =49,2x10=492

Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número.

Exemplo: 16÷4=16÷2÷2=8÷2=4

Exemplo: 12,3÷4=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5

Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 16÷0,4=16÷2÷2x10=8÷2x10= 4x10=40

Exemplo: 12,3÷0,4=12,3÷2÷2x10=6,15÷2x10 =3,075x10=30,75

Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷40=16÷2÷2÷10=8÷2÷10=4÷10=0,4

Exemplo: 12,3÷40=12,3÷2÷2÷10= 6,15÷2÷10 =3,075÷10=0,3075

Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2

Tomar a metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 5×16=16÷2×10=8×10=80

Exemplo: 5×12,3=12,3÷2×10=6,15×10=61,5

Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2

Tomar a metade do número.

Exemplo: 0,5×16=16÷2=8

Exemplo: 0,5×12,3=12,3÷2=6,15

Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02

Tomar a metade do número e multiplicar por 100.

Exemplo: 50×16=16÷2×100=8×100=800

Exemplo: 50×12,3=12,3÷2×100=6,15×100=615

Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2

Tomar o dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷5=2×16÷10=32÷10=3,2

Exemplo: 12,3÷5=12,3×2÷10=24,6÷10=2,46

Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2

Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷0,5=2×16=32

Exemplo: 12,3÷0,5=12,3×2=24,6

Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02

Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷50=2×16÷100=32÷100=0,32

Exemplo: 12,3÷50=2×12,3÷100=24,6÷100=0,246

Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5]

Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25.

Justificativa Matemática

[M5] = 10M + 5 logo
[M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25
(10M+5)² = 100 (M² + M) + 25
(10M+5)² = 100 M × (M+1) + 25

Exemplo: 35²=(3x4)25=1225

Exemplo: 75²=(7x8)25=5625

Exemplo: 105²=(10x11)25=11025

Exemplo: 205²=(20x21)25=42025

Dica 08-1: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1)
(10M+N) × 11 = 100M + 10M + 10N + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1]

Exemplo: 35×11=(3,8,5)=385

Exemplo: 27×11=(2,9,7)=297

Dica 08-2: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=100M +100 - 100 + 10(M+N)+1
(10M+N)×11=100(M+1)+10(M+N-10)+1=[M+1,M+N-10,1]

Exemplo: 78×11=(8,5,8)=858

Exemplo: 95×11=(10,4,5)=1045

Dica 08-3: Multiplicar por 11

Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escreve-se [A, A+B, B+C, C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
(100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×(10+1)
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100B+10C+100A+10B+C
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C
(100A+10B+C)×11 = [A,A+B,B+C,C]

Exemplo: 134×11=(1,1+3,3+4,4)=(1,4,7,4)=1474

Exemplo: 235×11=(2,2+3,3+5,5)=(2,5,8,5)=2585

Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04

Dividir o número por 4 e multiplicar por 100.

Exemplo: 16×25=16÷2÷2×100=8÷2×100=4×100=400

Exemplo: 12,3×25=12,3÷2÷2×100=6,15÷2×100 =3,075×100=307,5

Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4

Dividir o número por 4 e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×2,5=16÷2÷2×10=8÷2×10=4×10=40

Exemplo: 12,3×2,5=12,3÷2÷2×10=6,15÷2×10 =3,075×10=30,75

Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4

Dividir o número por 4.

Exemplo: 16×0,25=16÷2÷2=8÷2=4

Exemplo: 12,3×0,25=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 10-1: Multiplicar por 101

Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B]

Exemplo: 35×101=(3,5,3,5)=3535

Exemplo: 27×101=(2,7,2,7)=2727

Dica 10-2: Multiplicar por 101

Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×101
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×(100+1)
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100C+100A+10B+C
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100(A+C)+10B+C
[ABC]×101 = [A,B,A+C,B,C]

Exemplo: 435×101=(4,3,(4+5),3,5)=(4,3,9,3,5)=43935

Exemplo: 257×101=(2,5,(2+7),5,7) =(2,5,9,5,7)=25957

Dica 11-1: Multiplicar por 9

Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×9=350-35=315

Exemplo: 27×9=270-27=243

Dica 11-2: Multiplicar por 99

Se o número tem a forma MN, como 99=100 - 1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×99=3500-35=3465

Exemplo: 27×99=2700-27=2673

Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles

Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre X e Y e o produto entre eles é (M-1)x(M+1)=M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1.

Exemplo: 14×12=13² -1=169-1=168

Exemplo: 14×16=15² -1=225-1=224

Exemplo: 34×36=35² -1=1225-1=1224

Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles

Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-2)x(M+2)=M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4.

Exemplo: 14×18=16² -4=256-4=252

Exemplo: 24×28=26² -4=576-4=572

Exemplo: 33×37=35² -4=1225-4=1221

Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles

Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)x(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9.

Exemplo: 14×20=17² -9=289-9=280

Exemplo: 51×57=54² -9=2916-9=2907

Dica 13-1: Multiplicar por 1,5

Somar o número com a sua metade.

Exemplo: 16×1,5=16+8=24

Exemplo: 12,3×1,5=12,3+6,15=18,45

Dica 13-2: Multiplicar por 15

Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×15 =(16+8)×10=24×10=240

Exemplo: 12,3×15=(12,3+6,15)×10=18,45×10=184,5

Dica 13-3: Multiplicar por 0,15

Somar o número com a sua metade e dividir por 10.

Exemplo: 16×15 =(16 + 8)÷10=24÷10=2,4

Exemplo: 12,3×15=(12,3 + 6,15)÷10=18,45÷10=1,845

Dica 14-1: Multiplicar números com algarismos das dezenas iguais, mas a soma dos algarismos das unidades = 10

Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido como: (Mx(M+1),AxB)

Justificativa Matemática

[MA]=10M + A, [MB]=10M + B, A+B=10
[MA]x[MB]=(10M+A)x(10M+B)=100M²+10Mx(A+B)+AxB
[MA]x[MB]=100M² + 100M + AxB
[MA]x[MB]=100Mx(M+1) + AxB

Exemplo: 14×16=(1x2,4x6)=(2,24)=224

Exemplo: 17×13=(1x2,7x3)=(2,21)=221

Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224

Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224

Exemplo: 73×77=(7x8,3x7)=(56,21)=5621

Exemplo: 104×106=(10x11,4x6)=(110,24)=11024

Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P]

Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,PxP).

Justificativa Matemática

[5P]=50 + P, logo
(50+P)² = 2500 + 2x50xP + P²
(50+P)² = 2500 + 100 P + P²
(50+P)² = (100x(25+P)+P²

Exemplo: 53²=(25+3,09)=(28,09)=2809

Exemplo: 54²=(25+4,16)=(29,16)=2616

Exemplo: 58²=(25+8,64)=(33,64)=3364

Exemplo: 59²=(25+9,81)=(34,81)=3481

Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]

Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0].

Justificativa Matemática

Como (X+1)²=X² + 2X + 1, então
[M1]² = (10M+1)²
[M1]² = 100 M² + 20M + 1
[M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M)
[M1]² = [M²,[M+1+M]]

Exemplo: 31²=[900, 31+30]=[900,61]=961

Exemplo: 71²=[4900,71+70]=[4900,141]=5041

Exemplo: 101²=[10000,101+100]=[10000,201]=10201

Exemplo: 151²=[150²,151+150]=[22500,301]=22801

Dica 17-1: Multiplicar dois números por decomposição

Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.

Justificativa Matemática

Como [YZ] = 10Y + Z, então
X×[YZ] = X × (10Y + Z) = 10×X×Y + X×Z

Exemplo: 8×13=8×10+8×3=80+24=104

Exemplo: 9×17=9×10+9×7=90+63=153

Exemplo: 15×22=15×20+15×2=300+30=330

Exemplo: 1,5×22=1,5×20+1,5×2=30+3=33

Exemplo: 1,5×2,2=(1,5×22)÷10=(1,5×20+1,5×2)÷10= (30+3)÷10=3,3

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